Wer ist der Rätselkönig?

[XO LustikuS]

Eine kreisförmige Wiese hat den Durchmesser 30m. An einem beliebingen Punkt auf der Kreislinie ist ein Schaf an einem Pflock angebunden. Wie lang muss das Seil, an dem das Schaf angebunden ist sein, damit es genau die halbe Fläche der Wiese abgrast?

Ich bin sicher, die hellen Köpfe der XO kommen ganz schnell auf die Lösung!

:elefant::elefant::elefant::elefant::elefant:

[XO Kabcar]

7,5m? die hälfte vom radius oder net?

[XO LustikuS]

nein, das ist ein Integralrechnung...

[XO LustikuS]

vielleicht eine kleine Hilfe, damit man sich das ganze optisch vorstellen kann

[XO Kabcar]

du willst ja nur die halbe fläche? also nur die hälfte des flächeninhaltes, also muss ich ja die fläche ausrechnen und dann durch 2, und fläche war doch r hoch mal pi? ^^ mist

[XO LustikuS]

ich bin ehrlich, ich bin schon zu lange aus der Schule raus, ich könnte diese Aufgabe nicht mehr lösen. Aber wir haben ja kluge Köpfe, die sowas mit "links" machen...

[XO MFK]

Ich würde sagen 1,158728m !?

[XO LustikuS]

bisschen kurz bei dem kreis! Dein Schaf wird auf jeden fall verhungern :bored:

[XO MFK]

Um die drei ein halb Meter.

[XO LustikuS]

verhungert immer noch....

[XO MFK]

Armes Schaf das tut mir leid wie wäre es mit 6,5 m.

[XO BigBeatz]

das hat schon was integralrechnung zu tun
ich weiß nur das das eine heftige aufgabe ist
gut polynom und ganzzahlige nullstelle und ich glaube etwas mit ganzzahligen koeffizienten auf jedenfall wurzel denk ich

[XO LustikuS]

das hat schon was integralrechnung zu tun
ich weiß nur das das eine heftige aufgabe ist
gut polynom und ganzzahlige nullstelle und ich glaube etwas mit ganzzahligen koeffizienten auf jedenfall wurzel denk ich

aber noch keine Lösung - 6 Meter ist übrigens auch zu kurz...


Bauer Timi wartet mit der Leine in der Hand! Wieviel Leine braucht jetzt unser Schaf um die Hälfte zu fressen?

[XO BigBeatz]

m² ist gerade m1 auch k1 also ungerade ß + r
dann (m²+k1) und r kann keine nullstelle sein soweit so gut warte

[XO BigBeatz]

das ist schwer aber ich bin nah dran oder?

[XO Sectomy]

äh.. sorry wenn ich mich nu total lächerlich mache aber....
15m ?

:wee: :wee:

[XO LustikuS]

gut gegoogelt secy!
aber nit richtig

[XO Kabcar]

HA!
ich weiß wie man es machen muss
erstmal die fläche des großen kreises ausrechnen, dann die hälfte abziehen , dann hat man halt die hälfte, was die ziege fressen soll.
aus diesem flächeihnalt kann man wiederum ein kreisumfang machen, dann einen radius und man hat die länger der leine!
ich hab keine lust die formeln rauszusuchen aber sollte so klappen...hoff ich XD

[Slith des Todes]

Dann geb ich mal meinen Senf dazu

Es seien (bitte Skizze machen)

W = Mittelpunkt des Kreises w vom Radius r ("Wiese")
Z = Punkt auf w, in dem die Ziege angeleint ist
z = Kreis um Z vom Radius R ("Ziegenkreis")

A,A' seien die Schnittpunkte der Kreise w und z.

Wir bestimmen zunächst den Inhalt F des Schnitts der Kreise w und z. Dieser Inhalt ergibt sich als Summe zweier Kreissektoren (der eine um W mit dem Mittelpunktswinkel 2p, der andere um Z mit dem Mittelpunktswinkel 2q, alle Winkel im Bogenmaß) minus dem Inhalt des Vierecks ZAWA', also

F = pr² + qR² - r²·sin p

Und da F gleich (1/2)·pi·r² sein soll, bekommt man die Gleichung

pr² + qR² - r²·sin p - (1/2)·pi·r² = 0 .

Hier dividiert man durch r² und erhält mit t = R/r:

p + qt² - sin p - (1/2)·pi = 0, also wegen p+2q = pi:

-2q + qt² - sin p + (1/2)·pi = 0 (#)

Es ist (wegen der Gleichschenkligkeit von ZAM) cos q = R/(2r) = (1/2)·t, also q = arccos((1/2)·t).

Weiter gilt:

sin p = sin(pi-2q) = sin(2q) = 2·sin q·cos q = 2·cos q · wrz(1-cos²q) = t·wrz(1-(1/4)t²) [wrz = Wurzel]

Somit erhält man aus (#), indem man p,q eliminiert:

(t²-2)·arccos((1/2)·t) - t·wrz(1-(1/4)t²) + (1/2)·pi = 0

Bezeichnen wir die linke Seite der letzten Gleichung mit f(t), so gilt f(0) = -pi/2 und f(2) = pi/2. Ferner ist f'(t) = 2t·arccos((1/2)·t) > 0 im Innern von [0;2]. Damit besitzt f genau eine Nullstelle in [0;2]. Man kann sie z.B. mit dem Newton-Verfahren ermitteln:

t = 1.15872847302 ~ 11,6 Meter

Danke für die aufmerksamkeit

[XO BigBeatz]

wo hast das denn kopiert :-)

[Slith des Todes]

Wikipedia, wo sonst :P

[XO BigBeatz]

klar hätte ich drauf kommen können

[Slith des Todes]

ne des war ne aufgabe in unserer schule, hab mich mal auf die aufgabe konzentriert und da wars.

tjaja wenn ich schonmal klugscheiße^^ aber sonst rüberkommen wien Bauer XDDD

[XO BigBeatz]

nicht schlecht da sag ich mal mathe 1 hinsetzen

[Slith des Todes]

löl^^

hab ma gegoogelt, sollte eigentlich auch richtig sein, korrigiert ham wirs nie... wollte nach hause^^

[XO BigBeatz]

ist ja auch ne hammer aufgabe

[Slith des Todes]

richtig...

soll ich die lösung wegmachen und du machst sie hin, dann bist du der große held, bock?^^

[XO BigBeatz]

nett aber du warst schneller ich bin zufrieden das ich ein bischen helfen konnte
hihihi

[Slith des Todes]

kk :D

dennoch bin ich glaube nit so intelligent^^

[XO LustikuS]

Also, Secy war am nächsten dran. Ich hatte jetzt nicht erwartet, dass jemand versucht es genau auszurechnen. Gute Schätzung Secy!


Hier die Lösung - die genaue Lösung - wie gesagt, für Rechenfreaks, hätte gar nicht sein müssen!

Ich versuche das mal ein wenig zu erläutern.

Man muß, wie schon erwähnt, zwei Kreisabschnitte berechnen und mit dem halben Wiesenradius gleichsetzen.
Ich habe den halben Kreisabschnittswinkel des Wiesenkreises als alpha benannt und den halben des Schafkreises als beta. Da das ein gleichschenkliges Dreieck ist, ist beta=(180-alpha)/2.

Der Schafradius ist nach dem Kosinussatz
L=wurzel(r*r+r*r-2*r*r*cos(alpha))

Jetzt hat man nur noch eine Variable (alpha) und die Gleichung ansetzen.

Diese lautet:

r*r/2*(pi/180*2*alpha-sin(2*alpha)
+L*L/2*(pi/180*(180-alpha)-sin(180-alpha)
= pi*r*r/2

Durch Umformung und Anwendung von Additionstheoremen erhält man:

pi-2*sin(alpha)-2*pi*cos(alpha)+pi/90*alpha*cos(alpha)= 0

Dies ist sogar unabhängig vom gegebenen Radius.

Die Nullstelle habe ich dann mit dem Newton-Iterationsverfahren berechnet (konvergiert bei einem Startwert von 90° sehr langsam) und kam auf den Winkel:
alpha = 70,811677674...°

und damit bei einem Wiesenradius von r=15m
einen Schafradius von

L = 17,380927095...m

p.s. natürlich kopiert und eingefügt!

[Slith des Todes]

hmm klingt logisch, mist, ich dachte ich hätte es errechnet... naja, bin halt dumm^^

[Slith des Todes]

mist ich dachte ich hätte die antwort...

nja bin halt dumm^^

[Ultralamer X]

lol ich nicht rechnen können!!

[Desperado93]

Ich hatte das erst letztes Jahr in der Schule und da hat ich ne 2 hehe aber inzwischen hab ich alles fast vergessen aber ich denke der Satz des Pytagoras ist sinnvoll

[Desperado93]

Ich hatte das erst letztes Jahr in der Schule und da hat ich ne 2 hehe aber inzwischen hab ich alles fast vergessen aber ich denke der Satz des Pytagoras ist sinnvoll.

[sparsau]

Warum posten alle doppelt? Freeeeeeeeaks...

[Desperado93]

Ja sry da ist einfach nix passiert und da dacht ich ich hab vergessen auf abschicken zu klicken.

[XO MFK]

Jo, also mein Schaf ist verhungert.


Sorry liebes Schaf =(=(=(

[Desperado93]

Also ich hab daraus ein schönes Lammsteak gemacht, oder besser gesagt nicht nur eins, das heißt ich lad euch alle zum Grillen ein, hehe.